第四章 超常收益率、业绩基准和附加值
本章要点:
- 定义了预期收益率的组成部分。预期超常收益率是我们的预测与一致预期之差。
- 业绩基准组合是衡量主动投资经理业绩的标准。
- 主动管理附加值是预期超常收益率减去一个与主动方差成正比的惩罚项。
- 对总风险和总收益率的管理不同于对主动风险和主动收益率的管理。
- 择时决策与选股决策分离。
业绩基准
实践中，人们不使用「市场」基准，转而使用业绩基准，业绩基准常常是某个 ETF 组合如标普 500.
基金经理的业绩是相对于业绩基准来衡量的，业绩基准代表了基金持有者对基金经理的预期，并且有助于基金经理分工。如，使用罗素 2000 业绩基准的基金经理专注于小盘股。
如果 $r_B, r_n$ 分别是业绩基准和股票 $n$ 的收益率，仍然可以定义 $\beta_n$:
\[\beta_n = \frac{\operatorname{cov}(r_n, r_B)}{\operatorname{var}{(r_b)}}\]主动头寸 定义为组合头寸与业绩基准头寸之差 $h_{PA}=h_P-h_B$.
主动方差 是主动收益率的方差，
\(\psi_P^2=\sigma^2_P+\sigma_B^2-2\sigma_{P,B}\) \(\phi_P^2=\beta^2_{PA}\sigma_B^2+\omega^2_P\)
预期收益率的组成
$R_n$ 代表资产 $n$ 的总收益，则
\[R_n=1+i_F+\beta_n\mu_B+\beta_n\Delta f_B+\alpha_n\]- 时间溢价 $i_F$ 也即无风险资产的收益率
- 风险溢价 $\beta_n\mu_B$ 是业绩基准按一个长期平均值估计的超额收益率
- 超常业绩基准收益率 $\beta_n\Delta f_B$ 是业绩基准在邻近的未来时期上的预期超额收益率与长期预期超额收益率之差
- $\alpha_n$ 是预期收益率的残差
在此基础上组合的概念，
- 一致预期超额收益率 $\beta_n\mu_B$ 接受业绩基准先验有效的投资者的预期超额收益率
- 预期超额收益率 $\beta_n\mu_B+\beta_n\Delta f_B+\alpha_n$
- 预期超常收益率 $\beta_n\Delta f_B+\alpha_n$
- 基准择时收益 $\beta_n\Delta f_B$
- 选股收益 $\alpha_n$
管理总风险和总收益率
传统的投资效用函数称为预期效用，
$U[P]=f_P-\lambda_T\sigma_P^2$
$f_P$ 是预期超额收益率，$\lambda_T$ 是风险厌恶系数。直接按照该目标函数进行优化会导致比较激进的投资组合，通常会导致较高的残差风险 $\omega_P$.
商业风险和投资风险
基金持有者在选择投资于某个业绩基准时就接受了其风险，而主动投资经历要承担残差风险。因此，区别对待业绩基准风险和残差风险。将目标函数拆成三部分，
- 内蕴部分 $f_B-\lambda_T\sigma_B^2$ 源自业绩基准，不在投资经理掌控范围内
- 择时部分 $\beta_{PA}\Delta f_B-\lambda_{BT}\beta_{PA}^2\sigma_B^2$ 业绩基准择时产生的贡献，由 $\beta_{PA}$ 决定
- 残差部分 $\alpha_P-\lambda_R\omega_P^2$ 投资经理残差头寸产生的
目标函数的后两部分衡量了资金经理增加价值的能力，称之为附加值，
\[VA=\{\beta_{PA}\Delta f_B-\lambda_{BT}\beta_{PA}^2\sigma_B^2\}+\{\alpha_P-\lambda_R\omega_P^2\}\]业绩基准择时
本书大多数章节不关心业绩基准择时，而是更关心残差收益率。
业绩基准择时的最优水平（在 $f_B$ 已知时）很明显，
\[\beta_{PA}=\frac{\Delta f_B}{2\lambda_{BT}\sigma_B^2}\]主动收益率与残差收益率
残差收益率和风险，
- $\theta_P=r_P-\beta_P r_B$
- $\omega_P=\operatorname{std}(\theta_P)$
主动收益率和风险，
- $r_{PA}=r_P-r_B=\theta_P+\beta_{PA}r_B$
- $\psi_P=\operatorname{std}(r_{PA})=\sqrt{\omega_P^2+\beta_{PA}^2\sigma_B^2}$
如果投资经理避免业绩基准择时，并设置 $\beta_P=1$ 那么主动收益率和残差收益率就是相同的。
问题
1. 假设无风险收益率为 6%，业绩基准的预期超额收益率为 6.5%，同时业绩基准的长期预期超额收益率为 6%。设麦当劳股票的贝塔值为 1.07，预期收益率为 15%，请从它的预期收益率中分离出以下部分:
- 时间溢价：$i_F=6\%$
- 风险溢价：$\beta_P\mu_B=1.07\times6\%=6.42\%$
- 超常业绩基准收益率：$\beta_P\Delta f_B=1.07\times(6.5\%-6\%)=0.535\%$
- $\alpha=r_n-i_F\beta_P f_B=15\%-1.07\times 6.5\%=2.045\%$
- 一致预期收益率也即风险溢价
- 预期超额收益率 $f_n=15\%-6\%=9\%$
- 预期超常收益率 $0.535\%+2.045\%=2.58\%$
- 一致预期收益率与预期超常收益率之和是预期超额收益率
2. 假设业绩基准不是市场，并且 CAPM 成立，那么 CAPM 预期收益率将怎样分解为本章中建议的各个组成部分?
本章的收益率分解，
\[R_n=1+i_F+\beta_n\mu_B+\beta_n\Delta f_B+\alpha_n\]在 CAPM 假设下，会有 $\mu_B=\beta_B^M\mu_M$ 并且 $\Delta f_B = 0, \alpha=0$，所以
\[R_n=1+i_F+\beta_n\mu_B=1+i_F+\beta_n\beta_B^M\mu_M\]剩下的两项含义：
- 时间溢价：$i_F$
- 风险溢价也即一致预期收益率：$\beta_P\mu_B=\beta_n\beta_B^M\mu_M$
其他项都是 0.
3. 设业绩基准的风险为 20%，某个投资组合的风险为 21%，并假设该组合的贝塔值等于 1，那么组合的残差风险是多少？主动风险是多少？组合风险与业绩基准风险之差是否接近于残差风险或主动风险？
残差风险：
\(\sigma_P^2=\beta_P^2\beta_B^2+\omega_P^2\) \(\omega_P^2=\sqrt{\sigma_P^2-\beta_P^2\sigma_B^2}=\sqrt{0.21^2-0.2^2}=6.4\%\)
$\beta=1$ 时主动风险等于残差风险。两者都远大于组合风险与基准风险之差。
4. 投资者 A 在总收益率和总风险框架下进行投资管理：
\[f_P-\lambda_T \sigma_P^2\]其中风险厌恶系数为 $\lambda_T=0.0075$。
投资者 B 在残差风险和残差收益率框架下进行投资管理：
\[\alpha_P-\lambda_R \omega_P^2\]其中残差风险厌恶系数为 $\lambda_R=0.075$ (水平为中等到激进)。
他们可以选择以下两个组合:
\(f_1 =10\%,\,\sigma_1=20.22\%\) \(f_2 =16\%,\,\sigma_1=25\%\)
两个组合的贝塔都等于1。并且
\[f_B=6\%,\,\sigma_B=20\%\]投资者 A 会偏好哪个组合？投资者 B 会偏好哪个组合？(提示:首先计算两个组合的预期残差收益率和预期残差风险。)
\(\alpha_1=f_1-\beta f_B=10\%-6\%=4\%\) \(\alpha_2=f_2-\beta f_B=16\%-6\%=10\%\) \(\omega_1=\sqrt{\sigma_1^2-\beta^2\sigma_1^2}=2.975\%\) \(\omega_2=\sqrt{\sigma_2^2-\beta^2\sigma_2^2}=15\%\)
投资者 A 的效用函数： \(f_1-\lambda_T \sigma_1^2=6.93\%\) \(f_2-\lambda_T \sigma_2^2=11.31\%\) 所以投资者 A 选择组合 2.
投资者 B 的效用函数： \(\alpha_1-\lambda_R \omega_1^2=3.34\%\) \(\alpha_2-\lambda_R \omega_2^2=-6.88\%\) 所以投资者 B 选择组合 1.
5. 假设你是一位具有均值/方差偏好的投资者，总风险厌恶系数为 0.0075。如果一个投资组合具有 6% 的预期超额收益率和 20% 的风险，那么你的确定性等价收益率是多少（确定性等价收益率：对你而言，与该组合效用等价的确定性收益率）？
\[6\%-0.0075\times 20^2 \% = 3\%\]